在Angular中，父子组件通信可以通过@Input和@Output装饰器来实现。但是在mat-tab中，由于延迟加载的特性，父组件和子组件之间的通信可能会出现问题。

解决这个问题的一种方法是使用一个共享服务来进行通信。下面是一个使用共享服务解决父子组件通信的示例：

首先，在src/app目录下创建一个名为shared的文件夹，然后在shared文件夹中创建一个shared.service.ts文件，代码如下：

import { Injectable } from '@angular/core';
import { BehaviorSubject } from 'rxjs';

@Injectable()
export class SharedService {
  private messageSource = new BehaviorSubject('');
  currentMessage = this.messageSource.asObservable();

  constructor() { }

  changeMessage(message: string) {
    this.messageSource.next(message);
  }
}

然后，在父组件中，你可以通过调用共享服务的changeMessage方法来改变消息的值。例如，在父组件的ts文件中，代码如下：

import { Component } from '@angular/core';
import { SharedService } from '../shared/shared.service';

@Component({
  selector: 'app-parent',
  template: `
    
      
        
      
      
        
      
    
  `,
  providers: [SharedService]
})
export class ParentComponent {
  constructor(private sharedService: SharedService) { }

  changeTabMessage() {
    this.sharedService.changeMessage('Message from parent');
  }
}

在上面的例子中，父组件通过调用共享服务的changeMessage方法来改变消息的值。

接下来，在子组件中，你可以通过订阅共享服务的currentMessage属性来获取消息的值。例如，在子组件的ts文件中，代码如下：

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { SharedService } from '../shared/shared.service';

@Component({
  selector: 'app-child',
  template: `
    

      {{ message }}
    
  `
})
export class ChildComponent implements OnInit {
  message: string;

  constructor(private sharedService: SharedService) { }

  ngOnInit() {
    this.sharedService.currentMessage.subscribe(message => {
      this.message = message;
    });
  }
}

在上面的例子中，子组件通过订阅共享服务的currentMessage属性来获取消息的值。

这样，父子组件之间的通信就可以在mat-tab中正常工作了。当父组件调用共享服务的changeMessage方法时，子组件会接收到消息并显示在页面上。

希望以上解决方法对你有所帮助！