要实现在Angular MatTab组件中记住所选选项卡的功能，我们可以使用Angular的路由机制来保存和恢复选项卡的选择状态。

首先，我们需要在路由模块中定义一个路由参数来保存选项卡的索引。在路由模块中，我们可以使用{ path: 'tabs/:tabIndex', component: TabsComponent }来定义带有tabIndex参数的路由。

接下来，在选项卡组件中，我们需要获取路由参数并将其与选项卡的索引绑定。我们可以使用ActivatedRoute服务来访问路由参数，并使用queryParams属性来订阅参数的更改。在组件的构造函数中注入ActivatedRoute服务，并在ngOnInit生命周期钩子中订阅queryParams属性。

在订阅中，我们可以获取tabIndex参数的值，并将其存储在组件的变量中。然后，我们可以使用selectedIndex属性将选项卡的索引设置为存储的值。

这里有一个示例代码：

在路由模块中：

import { NgModule } from '@angular/core';
import { RouterModule, Routes } from '@angular/router';
import { TabsComponent } from './tabs.component';

const routes: Routes = [
  { path: 'tabs/:tabIndex', component: TabsComponent }
];

@NgModule({
  imports: [RouterModule.forRoot(routes)],
  exports: [RouterModule]
})
export class AppRoutingModule { }

在选项卡组件中：

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { ActivatedRoute } from '@angular/router';
import { MatTabChangeEvent } from '@angular/material/tabs';

@Component({
  selector: 'app-tabs',
  templateUrl: './tabs.component.html',
  styleUrls: ['./tabs.component.css']
})
export class TabsComponent implements OnInit {
  selectedIndex: number;

  constructor(private route: ActivatedRoute) { }

  ngOnInit(): void {
    this.route.queryParams.subscribe(params => {
      this.selectedIndex = params.tabIndex ? +params.tabIndex : 0;
    });
  }

  onTabChange(event: MatTabChangeEvent): void {
    const tabIndex = event.index;
    // 使用路由导航来更新URL中的参数
    this.router.navigate([], { queryParams: { tabIndex }, queryParamsHandling: 'merge' });
  }
}

在HTML模板中，我们可以使用selectedIndex变量来绑定选项卡的索引，并在mat-tab-group元素上使用(selectedTabChange)事件来监听选项卡的更改。

  Content 1
  Content 2
  Content 3

这样，当用户选择不同的选项卡时，URL中的参数将更新，并且在刷新页面或导航回该页面时，选项卡的选择状态将被恢复。