以下是一个示例解决方法：

def group_by_key(arr):
    groups = {}
    for item in arr:
        key = item[0]
        value = item[1]
        if key in groups:
            groups[key].append(value)
        else:
            groups[key] = [value]
    return groups

# 示例输入
arr = [['A', 1], ['B', 2], ['A', 3], ['C', 4], ['B', 5]]

# 调用函数
result = group_by_key(arr)

# 输出结果
print(result)

输出结果：

{
    'A': [1, 3],
    'B': [2, 5],
    'C': [4]
}

在这个示例中，我们定义了一个group_by_key函数，它接受一个按键分组数组作为参数。我们创建一个空字典groups来存储分组后的结果。然后，我们遍历输入数组中的每个元素。对于每个元素，我们提取键值对中的键和值，并检查字典groups中是否已经存在该键。如果存在，我们将该值添加到对应键的列表中；如果不存在，我们创建一个新的键值对，键为当前元素中的键，值为一个包含当前元素中的值的列表。最后，我们返回分组后的字典。