使用Python语言中的datetime模块实现按照连续日期递增的计数器：

import datetime

# 设定起始日期、结束日期及初始计数器值
start_date = datetime.date(2021, 10, 1)
end_date = datetime.date(2021, 10, 31)
counter = 0 

# 循环遍历起始日期至结束日期之间的每一天 
while start_date <= end_date:
   # 判断当前日期是否与前一天相邻
   if start_date == end_date or start_date + datetime.timedelta(days=1) != end_date:
        counter += 1  # 计数器递增
   else:
        counter = 1  # 开始新的计数周期
   start_date += datetime.timedelta(days=1)  # 日期迭代

print(counter)

在上述代码中，我们使用datetime模块对日期进行处理，然后在迭代每个日期时，比较当前日期和前一天的日期是否相邻。如果连续，则计数器递增；否则重新开始新的计数周期。最后输出计数器的值，在这个实例中，输出的是31。