要解决AWS API Gateway + SQS超过256KB的数据的问题，可以使用以下解决方法：

1. 使用分段（chunking）传输数据：将超过256KB的数据分割成较小的块，并在API Gateway中使用多个请求将这些块发送到SQS队列。接收方可以按顺序组合这些块以重建完整的数据。

以下是一个示例代码，演示如何在API Gateway中使用分段传输数据到SQS队列：

import boto3

def send_large_data(event, context):
    sqs = boto3.client('sqs')
    
    data = event.get('data')  # 获取数据
    
    chunk_size = 256 * 1024  # 设置每个块的大小为256KB
    
    chunks = [data[i:i+chunk_size] for i in range(0, len(data), chunk_size)]  # 将数据分割成块
    
    for i, chunk in enumerate(chunks):
        sqs.send_message(
            QueueUrl='YOUR_SQS_QUEUE_URL',
            MessageBody=chunk,
            MessageGroupId='large_data',
            MessageDeduplicationId=f'chunk-{i}'
        )

2. 使用AWS Lambda处理超过256KB的数据：将超过256KB的数据发送到AWS Lambda函数，然后在Lambda函数中将数据存储到SQS队列。这样可以绕过API Gateway的256KB限制。

以下是一个示例代码，演示如何在Lambda函数中处理超过256KB的数据并将其发送到SQS队列：

import boto3

def lambda_handler(event, context):
    sqs = boto3.client('sqs')
    
    data = event.get('data')  # 获取数据
    
    response = sqs.send_message(
        QueueUrl='YOUR_SQS_QUEUE_URL',
        MessageBody=data
    )
    
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': response
    }

这两种方法都可以在API Gateway和SQS之间传输超过256KB的数据。根据具体的需求和使用情况，选择适合自己的方法。