要解决AWS ECS Fargate中的APP无法连接到Liquid Web中的远程数据库问题，您需要确保以下几个方面：

1. 确认Liquid Web数据库的连接信息是否正确，包括主机名、端口号、数据库名称、用户名和密码等。

2. 检查Liquid Web数据库是否已配置允许远程连接。您可以在Liquid Web的管理界面上找到相应的设置选项。

3. 确保AWS ECS Fargate的安全组配置允许与Liquid Web数据库之间的通信。您需要添加入站规则，允许来自Fargate实例的出站连接到Liquid Web数据库的端口。

下面是一个示例代码，展示了如何在AWS ECS Fargate中使用Node.js连接到Liquid Web数据库：

const mysql = require('mysql');

const connection = mysql.createConnection({
  host: 'liquid-web-hostname',
  user: 'username',
  password: 'password',
  database: 'database-name',
});

connection.connect((error) => {
  if (error) {
    console.error('Error connecting to Liquid Web database:', error);
    return;
  }

  console.log('Connected to Liquid Web database!');

  // 执行查询或其他数据库操作

  connection.end(); // 关闭数据库连接
});

请确保将上述代码中的liquid-web-hostname、username、password和database-name替换为您实际的Liquid Web数据库连接信息。

希望这些信息对您有所帮助，解决问题并成功连接到Liquid Web数据库。