要解决"AWS Lambda使用自定义域名的WebSocket实现遇到POST问题"，可以按照以下步骤进行操作：

1. 在AWS API Gateway中创建一个WebSocket API，并配置自定义域名。

2. 在Lambda函数中，处理WebSocket连接请求。可以使用AWS SDK（例如，aws-sdk-js）来处理WebSocket连接。

下面是一个使用Node.js和aws-sdk-js的Lambda函数示例，用于处理WebSocket连接请求：

const AWS = require('aws-sdk');

exports.handler = async (event) => {
  const connectionId = event.requestContext.connectionId;
  const domainName = event.requestContext.domainName;
  const stage = event.requestContext.stage;

  const apigatewayManagementApi = new AWS.ApiGatewayManagementApi({
    apiVersion: '2018-11-29',
    endpoint: `${domainName}/${stage}`
  });

  try {
    // 处理连接请求
    if (event.requestContext.eventType === 'CONNECT') {
      // 添加连接到数据库或其他存储
      // ...
    }

    // 处理消息请求
    if (event.requestContext.eventType === 'MESSAGE') {
      const message = JSON.parse(event.body);
      // 处理消息
      // ...
    }

    // 处理断开连接请求
    if (event.requestContext.eventType === 'DISCONNECT') {
      // 从数据库或其他存储中删除连接
      // ...
    }

    return {
      statusCode: 200,
      body: 'WebSocket message processed successfully.'
    };
  } catch (error) {
    console.error('WebSocket message processing error:', error);
    return {
      statusCode: 500,
      body: 'Internal server error.'
    };
  }
};

在Lambda函数中，可以根据连接的不同请求类型（CONNECT、MESSAGE、DISCONNECT）执行不同的逻辑。根据需要，可以将连接信息存储在数据库或其他存储中。

3. 在AWS API Gateway中，为WebSocket API的POST方法创建一个集成。选择Lambda函数作为集成类型，并选择相应的Lambda函数作为目标。

4. 部署WebSocket API，并将自定义域名与API关联。

5. 在前端应用程序中，使用WebSocket API的自定义域名进行连接。例如，使用JavaScript中的WebSocket对象：

const webSocket = new WebSocket('wss://your-custom-domain.com');

这样，WebSocket连接将通过API Gateway和Lambda函数进行处理。

请注意，上述示例仅显示了处理WebSocket连接请求的Lambda函数示例。根据具体需求，您可能还需要进行身份验证、授权、广播消息等其他操作。