以下是使用ASP.NET MVC核心和Select2下拉菜单自动填充的代码示例：

1. 首先，确保你的项目中已经安装了Select2的相关库文件。你可以通过NuGet包管理器来安装，运行以下命令：

Install-Package Select2

2. 在你的视图文件中，添加一个HTML元素作为下拉菜单的容器，并引入Select2的CSS和JS文件：

3. 在你的控制器中，添加一个Action方法来处理Select2的AJAX请求，并返回包含下拉菜单选项的JSON数据：

public IActionResult Action(string searchTerm)
{
    // 从数据库或其他数据源中获取匹配的选项
    var options = db.Items.Where(i => i.Name.Contains(searchTerm)).Select(i => new { id = i.Id, text = i.Name }).ToList();

    return Json(new { items = options });
}

以上代码示例中，当用户在下拉菜单输入框中输入字符时，Select2会发送AJAX请求到指定的URL，并将输入的搜索词作为参数传递给服务器。服务器根据搜索词从数据库或其他数据源中获取匹配的选项，并将它们作为JSON数据返回给前端。然后，Select2根据返回的数据动态生成下拉菜单的选项。